Le billard, sport d’adresse ? Oui, mais aussi de logique ! Les sciences prennent une place importante dans toutes les variantes de ce jeu qui met en application les principes de base des mathématiques, de la géométrie et de la physique.
Aujourd’hui, nous allons étudier comment une bille de billard rebondit sur une ou plusieurs bandes et où viser pour réussir un coup avec rebond.
Lorsqu’on frappe une bille avec la queue, le choc peut être dirigé à divers endroits et provoquer ce qu’on appelle un « effet ». Celui-ci fait tournoyer la bille et ce mouvement de rotation modifie la trajectoire de la bille et le rebond lors des chocs. Nous aborderons ces effets dans un autre article. Pour simplifier, nous allons envisager le cas le plus simple : celui où le joueur heurte la bille en son centre.
Sommaire :
La loi de la réflexion
Le rebond d’une bille de billard sur une bande répond à la même loi géométrique que la réflexion d’un rayon lumineux sur un miroir. Que nous dit cette loi de la réflexion ? Pour le savoir, il faut déjà poser quelques définitions appliquées au billard :
- rayon incident : trajet de la bille entre son point initial et la bande
- rayon réfléchi : trajet de la bille après qu’elle a rebondi sur la bande
- point d’incidence : point de contact entre la bille et la bande (là où elle rebondit)
- normale : droite perpendiculaire à la bande partant du point d’incidence
- angle de déviation : angle compris entre le rayon incident et le rayon réfléchi (θ1+θ2)
- angle d’incidence : angle compris entre le rayon incident et la normale (θ1)
- angle de réflexion : angle compris entre la normale et le rayon réfléchi (θ2)
Selon la loi de la réflexion :
L’angle d’incidence (θ1) est égal à l’angle de réflexion (θ2).
Les choses ne sont malheureusement pas si simples : cette théorie ne fonctionne parfaitement que si la bille et la bande sont parfaitement « élastiques », c’est-à-dire qu’elles « n’absorbent » pas le choc. Si leur élasticité n’est pas parfaite, l’angle de réflexion (θ2) sera plus grand que l’angle d’incidence (θ1) et la vitesse de la bille diminuera après l’impact. À l’extrême, si la bille et la bande n’ont aucune élasticité, la bille roulera le long de la bande après l’avoir touchée.
Applications pratiques
Après avoir fait appel à Descartes pour comprendre le principe, nous allons maintenant tenter de nous souvenir de nos cours de symétrie axiale pour en deviner les implications… Pas gagné ? Pour ceux qui n’auraient pas d’équerre et de compas sous la main, le sympathique logiciel de simulation de billard 3 bandes de Laurent Buchard (téléchargeable gratuitement) permet de représenter sans efforts tous les rebonds possibles des billes de billard.
Pour contourner les billes présentes sur la table ou marquer des points, les joueurs sont souvent obligés de faire rebondir la bille de choc sur une ou plusieurs bandes avant de toucher la bille de but. Des repères autour du billard permettent de déterminer le point de visée, c’est-à-dire l’endroit où doit avoir lieu le premier rebond sur la bande.
Comment situer ce point de visée ?
Rebond sur une bande
Imaginons qu’avec la bille blanche (bille de choc) représentée sur le schéma ci-contre, nous souhaitions toucher la bille rouge (bille de but) en utilisant une seule bande. Il faudra alors viser le symétrique de la bille rouge par rapport à la bande choisie (ici la bande de droite).
Pourquoi ? Pour que la bille blanche touche la bille rouge, il faut que son angle d’incidence égale l’angle entre la normale et la droite formée par la bille rouge et le point d’impact. D’après les règles de la symétrie, lorsqu’on vise un point symétrique à la bille rouge par rapport à la bande, les angles désignés par 1, 2 et 3 sur le schéma sont égaux. Or, si 1 et 3 sont égaux, alors la première condition est réunie et donc les deux billes s’entrechoquent.
Rebond sur 2 bandes
Compliquons un peu les choses avec une situation dans laquelle le joueur devra utiliser 2 bandes pour toucher la bille rouge. Comment savoir où viser ?
Le même principe que dans les rebonds sur une seule bande s’applique : la symétrie nous indique où viser. Seulement, avec deux bandes, il faut trouver deux fois le symétrique de la bille rouge ! Deux cas peuvent se présenter :
- les rebonds se produisent sur deux bandes perpendiculaires (un petit côté et un grand côté)
- les rebonds se produisent sur deux bandes parallèles (deux grands côtés ou deux petits côtés)
Une petite remarque : avec un rebond sur 2 bandes, les angles de réflexion sont supplémentaires, c’est-à-dire que leur somme est égale à 180 °. La trajectoire de la bille blanche après la frappe est donc parallèle à sa trajectoire après le deuxième rebond.
Rebonds sur des bandes perpendiculaires
2 rebonds
bandes perpendiculaires
Lorsque les bandes sont perpendiculaires (schéma de droite), on recherche le symétrique de la bille rouge par rapport à la première bande (point 1), puis, à partir de celui-ci, le symétrique par rapport à la deuxième bande (point 2). C’est ce point qu’il faudra viser pour toucher la bille rouge.
Le produit de deux symétries par rapport à des droites perpendiculaires (les bandes) peut aussi être obtenu en déterminant le symétrique du point (la bille rouge) par rapport au point de croisement de ces droites (l’angle du billard ; point A sur le schéma). Sur le papier, il suffit donc de placer la pointe d’un compas sur le point A et de tracer un demi-cercle. La rencontre entre ce demi-cercle et la droite reliant la bille rouge et le point A est le point de visée. En cours de jeu, mieux vaut donc avoir le compas dans l’oeil !
Rebonds sur des bandes parallèles
Lorsque le joueur souhaite faire rebondir la bille blanche sur deux bandes parallèles (généralement les grands côtés) avant de toucher la rouge, on recherche là encore le double symétrique de la bille rouge : par rapport à la première bande (point 1), puis au symétrique de la deuxième (point 2).
Autre moyen plus rapide de déterminer le point de visée : imaginer une translation de la bille rouge sur une distance égale à deux fois l’écart entre les deux bandes.
2 rebonds
bandes parallèles
Rebond sur 3 bandes
Dans l’une des variantes du carambole, il ne faut pas toucher une seule, ni deux, mais bien trois bandes avant de percuter la deuxième bille objet. Cette variante s’appelle évidemment… le 3 bandes !
On ajoute alors un degré supplémentaire : une symétrie axiale de plus par rapport aux rebonds sur deux bandes. Pour simplifier, il faut viser le point obtenu suite à la la combinaison de :
- la translation de la bille rouge sur une distance égale à deux fois l’écart entre les deux bandes parallèles touchées
- le symétrique de la bille rouge vis-à-vis de la 3e bande
Voici un exemple de rebond sur 3 bandes illustrant la façon d’obtenir le point de visée :
Exemple de rebond sur 3 bandes
Et voilà comment on en arrive là (après tout de même quelques années d’entraînement !) :